【等比数列前n项和公式Sn】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为定值，称为公比。等比数列的前n项和公式（记作 $ S_n $）是求解该数列前n项总和的关键工具。以下是对等比数列前n项和公式的总结，并以表格形式展示不同情况下的计算方法。
一、等比数列的基本概念
- 首项：$ a_1 $
- 公比：$ q \neq 1 $
- 第n项：$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $
- 前n项和：$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n $
二、等比数列前n项和公式
当公比 $ q \neq 1 $ 时，前n项和公式为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
$$
或等价地：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
当公比 $ q = 1 $ 时，所有项都相等，因此：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
三、不同情况下的公式对比（表格）
| 公比 $ q $ | 公式表达式 | 说明 |
| $ q \neq 1 $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ | 常用公式，适用于非1的公比 |
| $ q \neq 1 $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ | 等价于上式，符号不同 |
| $ q = 1 $ | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 所有项相等，直接相加 |
四、示例应用
例1：已知等比数列首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求前5项和。
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
例2：若公比 $ q = 1 $，首项 $ a_1 = 5 $，求前6项和。
$$
S_6 = 5 \cdot 6 = 30
$$
五、注意事项
- 公比 $ q $ 不能为1，否则公式不适用。
- 当 $ q > 1 $ 或 $ 0 < q < 1 $ 时，公式均有效。
- 在实际问题中，需根据题意判断是否使用此公式。
通过以上内容，我们可以清晰了解等比数列前n项和公式的应用方式及不同情况下的处理方法。掌握这一公式对于解决数列相关问题具有重要意义。